|
Автор
|
Тема: Бесконечность, теорема Кантора и континуум-гипотеза
|
|
Бабаюнок
|
написано:10-03-2006 13:58:09
|
16
|
Pipa
Речь идет не об абстрактных понятиях, а о конкретных формах существования материи. Выдумывай какие угодно понятия, но миръ един и неделим в своей энергетической сути. Когда мы сейчас обмениваемся с тобой "умными" фразами, то через нас просто осуществляется "внутренний диалог" единой безсубъектной природы ума. Этот диалог приводит к возникновению иллюзии субъектности. Возникающие субъективные завихрения начинают искать точку опоры в проведении границ "я-не я",так появляется объектность. А если есть объекты, то их можно сосчитать. Это следующий момент самоутверждения и проведения демаркационных линий. Нас с тобой по отдельности нет, а есть только беседующие друг с другом на общую тему, читающие одни и те же книги, дышащие одним и тем же воздухом и пьющие одну и ту же воду.
В самой реалности чисел нет до тех пор, пока не появится умеющий считать, и нет дискретности пока не появится дискредитирующий:)
ц и т а т а
|
|
RAman
|
написано:10-03-2006 14:10:45
|
17
|
Перечисляю ошибки, сделанные Пипой.
1. Наш мир выступает скорее в роли множества натуральных чисел, на котором теорема Кантора не выполняется.
Что значит "на мн-ве нат. чисел теорема Кантора не выполняется"?
Она не не выполняется/выполняется на мн-ве нат. чисел, утверждает неравномощность вещественных и нат. чисел.
2. Наш мир выступает скорее в роли множества натуральных чисел, на котором теорема Кантора не выполняется.
Не надо путать МЕРУ МНОЖЕСТВА (по Жордану, там, или по Лебегу) с количеством его элементов. Ведь когда говорят, что бревно имеет такую-то длину, то не подразумевают в нем какое-то кол-во точек укладывающихся в каком-то геомтреческом отрезке.
Если определяешь какую-то операцию над множеством, то делать это надо КОРРЕКТНО. А то в данном случае изначально в качестве ОПЕРАНДА рассматривается КОЛ-ВО овец, а в конце - либо их совокупная масса, либо объем, т.е. ВОЗВРАЩАЕМЫМ значением является МЕРА.
3. Более того, в строгом смысле, физический мир совершенно не масштабируем! Т.е. при изменении габаритных размеров физической системы, будут нарушены все ее параметры, зависимые степеней расстояния: поверхности, объемы, и, как следствие, – величины сил, плотности полей и пр.
Здесь вообще все в кучу собрано... Если бы так было на самом деле хотя бы в той же гидро-газодинамике, то до сих пор бы мы летали только на дирижаблях :-)
ц и т а т а
|
|
Eugene-Jack
|
написано:17-08-2006 00:02:53
|
18
|
Я даже не смог уяснить чем именно является множество?
Тем более его мощность.
Объясните если не сложно, по ссылкам Зелёного определение чисто научное и расплывчатое...
ц и т а т а
|
|
AesirLoki
|
написано:17-08-2006 15:13:26
|
19
|
Eugene-Jack
определение чисто научное и расплывчатое
Охренеть =8-0
Пипы на вас нет! :)
И чем больше бедные ученые мучаются, сочиняя максимально строгие определения, доказывая и перепроверяя непротиворечивость системы аксиом - тем более расплывчатым кажется результат их работы тем, кто к дисциплине и четкости мышления не приучен.
ц и т а т а
|
|
Eugene-Jack
|
написано:17-08-2006 21:02:28
|
20
|
Вот такое определение множества нашёл: «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством».
Множество не что иное как Имя - Славик, Владик и проч.
Или стол, стул, доска, парта ...
А при чём здесь числа тогда?
ц и т а т а
|
|
wayfarer
|
написано:17-08-2006 22:58:38
|
21
|
Eugene-Jack
определение множества нашёл:...
Не то...
ц и т а т а
|
|
Eugene-Jack
|
написано:18-08-2006 23:06:52
|
22
|
Аргументируй.
ц и т а т а
|
|
Зелёный
|
написано:19-08-2006 04:37:59
|
23
|
Eugene-Jack
"Множество это наборо (совокупность) объектов"
Без имен, свойств и т.д.
Однако, сам набор объектов, может определятся через их свойство. "Лысые человеки" = "Все люди не имеющие волос на голове". "Четные числа" = "Все числа, которые можно получить умножением некоторого натурального числа на 2 / делящиеся на 2 без остатка", "Натуральные числа" = "Числа, которыми можно перечислять (считать) различные предметы".
По сути (гы! где тут ссуть?) "единое имя для многих объектов" - неправильное определение, более правильно "первое" определение Кантора, т.е. " "Множество есть многое, мыслимое нами как единое". "Имя множества" нужно только для передачи (определения) одним челом другому некоего конкретного набора объектов.
Если упростить, "множество" = "некий набор неких объектов".
"Мощность множества" определяется через количествово включенных в множество объектов, т.е. мощность множества (стол, стул) = 2, мощность множества (стол, стул, чашка чая) = 3.
Однако, с бесконечными множествами не все так просто.
Мощнось бесконечных множеств сравнивается оп возможности сопоставит объекту одного бесконечного множества объекту другого бесконечного множества. Наприм, бесконечные множества "четные числа" и "натуральные числа" равномощны, т.е. четному числу P соответствует натуральное число N, такое, что N*2=Р. По-другому, любое четное число можно выразить через натуральное. Однако, считается, что мощность вещественных и натуральных чисел не равнозначны, т..е. оп математической "ссути" это разные бесконечности, обозначаемые "континуум"(множество вещественных чисел) и "счетное множество"(множество натуральных чисел).
Ссуть теории и "парадоксов" (если абстрагироваться от чисел) заключается в "простой" ошибке определения множества через свойства объектов, в невозможности сопоставления друг дружке объектов с разными свойствами.
Есть еще "парадокс стульев". Как пример, есть мношество A "стулья" = "все предметы класса стул" и B "множество предметов для сидения" = "предметы, на которых может сидеть человек" (стулья, кресла, табуретки, пеньки, кровати, шкафы, бревна, скамейки и пр.). "Интуитивно" понятно, что данные множества (A, B) счетны (равномощны "множеству натуральных чисел"), т.е. их можно считать (один стул, второй стул, третий стул.... двадцатый стул...; один предмет для посиделок, второй, третий, ..., восьмоой), также "интуитивно" понятно, что эти множество потенциально бесконечны (на сейчас стульев было сделано ХХХХ и их производится YYYY каждый день, этот процесс можно сделать бесконечным в "мысленном эксперименте"). Однако, процедуры, которая ставила бы в соответствие каждому стулу конкретный предмет для сидения нет! И "интуитивно" понятно, что, мощность "множества стульев" меньше "множества предметов чтоп посидеть" (на любом стуле можно сидеть, но не любой прежмет для сидения является стулом). Но (!) по "теории множеств" оба приведенных примера являются равномощными "счетному", т.е. их все равно можно считать и они "приводимы к множеству натуральных чисел", хотя любому челу [не математику] "интуитивно понятно", что одних всегда больше чем других =)
Имхо, проблема математиков [занимающихся теорией множеств] в том, что они "закрывают глаза" на парадоксы, ограничивая свои теории "аксиомами" с единственной целью - чтобы парадоксальные факты окружающего мира оказывались "вне поля зрения" (выходили за пределы аксиом). Если взять "ссуть", то это не что иное, как попытки отрицать реальность, которая не укладывается в рамки существующих и общепринятых моделей.
ЗЫ. Лично я противник Континуум-гипотезы и склонен к Интуиционизму
PSPS. По теме еще можно почитать
Теория множеств
Множество
Мощность множества
Парадокс Рассела
Счётное множество
Континуум
Проблемы Гильберта
Континуум-гипотеза
ц и т а т а
|
|
Зелёный
|
написано:19-08-2006 04:38:43
|
24
|
Кстати, для математиков (и пр. поп-артистов) все просто, поставил знак "бесконечность" (перевернутое 8) и лады, тут она бесконечность, типа определили. На практике все гораздо хуже. Мне так кажется, что некая неопределимая грань между "континуум" и "прочие бесконечности" все же существуют. Как грань между тем, с чем можно справится "разумом" и что настолько огромно, что сам "разум" является только одним из элементов бесчисленногго и непредставимого множества и это множество настолько больше нашего "разумного" понимания , что как-то определить, назвать эти другие объекты множества, находящиеся за этой гранью, невозможно.
Для "возможных критиков" поясню, что из вышеизложенного никак не следует, что не нужно с тремится к пониманию (в том числе и к пониманию математических теорий), "просто" всегда будет присутствовать огромное "что-то", что включает все бесконечное понятое /счетное/ и бесконечное непонятое, несчетное по определению... "как ты собираешься считать, то что вообще вне пониманиия? :-)".
ц и т а т а
|
|
Gomez
|
написано:19-08-2006 10:23:55
|
25
|
Раз оффтоп все-таки пошел ….
Eugene-Jack
Я даже не смог уяснить чем именно является множество?
Тем более его мощность.
Объясните если не сложно
Могу порекомендовать начало книги Н.Я. Виленкина «Рассказы о множествах». Книга написана очень детально и популярно. Скачать ее можно отсюда:
http://ilib.mccme.ru/djvu/rasomn.htm
Правда, файл большой. :( С другой стороны, я смог прочитать начало книги, в котором рассказывается про определение множества и его мощность, скачав лишь часть djvu-файла.
ц и т а т а
|
|
Eugene-Jack
|
написано:20-08-2006 09:03:15
|
26
|
2 Зел: Спасибо за подробные объяснения. Некий набор неких объектов. Не обязательно эти объекты должны быть объединены схожими или одинаковыми свойствами или нет? Или все объекты которые мы воспринимаем есть множество.
На примере дома: Дом - объект. Состоит из плит. Плита - объект или составляючая объета часть? Если тоже объект, то дом как объект состоит из множества объектов и т. д. Получается что Дом и объект,и множество множеств,включающих в себя то из чего он построен. Если же плита никакой не объект, а объект только дом, то имеет смысл сказать что Объекты и есть множество. И если мы не можем выделить Обект, он не создаст для нас множесво.
Мощность множества - Количество объектов, составляющих множество.
По логике мне кажется что множество не просто Некие Объекты а именно связанные одинаковыми или схожими свойствами, иначе всё сливается в одно множество.
Блин. И всё же ты утверждаешь что это ошибка определять множества через свойства объектов. Что то я запутался.
Со стулья ми как раз всё понятно. Теория и практика. Теоретически можно допустить возможность бесконечности множества №1 и множества №2, следовательно их мощности будут равны, а на деле иначе и для того чтобы возник парадокс надо доказывать Конечность одного из множеств.
Конечность не доказал - свободен.
Осталось ещё разобраться с вещественными и натуральными числами и их мощностями. Пока не ясно их отличие.
2 Гомес: Грамотно подождал Оффтопа...
Спасибо за ссылку обязательно почитаю.
ц и т а т а
|
|
AesirLoki
|
написано:24-08-2006 16:57:01
|
27
|
Зелёный
Однако, сам набор объектов, может определятся через их свойство. "Лысые человеки" = "Все люди не имеющие волос на голове". "Четные числа" = "Все числа, которые можно получить умножением некоторого натурального числа на 2 / делящиеся на 2 без остатка".
Не совсем. "Все люди не имеющие волос на голове" - это способ, скажем так, вычисления конкретного множества (причем один из многих), но не определение, что такое множества вообще и данное множество в частности. Точно так же, как числом можно точно задать точку на числовой прямой, но это число вообще ничего общего с той точкой не имеет, окромя придуманного нами же отношения подобия.
Множество - базовое понятие, которое можно определить только или аксиоматически (через набор определенных операций и свойств) или синонимами (здесь прозвучали слова: "набор", "совокупность",...)
Точно так же можно до посинения пытаться определить, что такое функция. Что такое буква (алфавит состоит из букв, ага?). Что такое логические понятия "истина" и "ложь". Или что такое сознание.
ц и т а т а
|
|
Gomez
|
написано:24-08-2006 20:15:02
|
28
|
что такое функция
Пусть А и В – множества. Функцией f называется множество, состоящее из упорядоченных пар <x,y>, где х принадлежит А, у принадлежит В, по одной паре для каждого х из А.
Что такое логические понятия "истина" и "ложь".
Например, элементы булевой алгебры, обладающие определенными свойствами.
Что такое буква
Предлагаю определение: буква есть элемент множества {"а", "б", ..., "я"}.
ц и т а т а
|
|
AesirLoki
|
написано:28-08-2006 11:27:08
|
29
|
Gomez
Ладно, свел функцию к множеству. Только не определяй после этого множество через функцию :)
Что касается букв, в том числе букв из алфавита {"истина","ложь"}, или букв китайского алфавита, или букв из алфавита 0..9 (их обычно называют цифрами) - то тут ты совершенно мимо кассы.
Буква - это просто некая выделенная атомарная идеальная сущность, которая, по сути, обладает только следующими свойствами, и больше никакими: Тождественность самой себе и нетождественность остальным буквам.
Что касается свойства букв склеиваться в цепочки ("слова") с другими буквами, то его уже можно считать свойством слов (как отображений из натуральных чисел в буквы), а не самих букв.
Буква - это ничто. Ее нельзя определить ни через что, кроме самой себя. Это такая фикция, которая является сама собой, и больше ничем. Ее нельзя пощупать или увидеть, да и вообразить сложно. Даже то, что мы читаем на экране, - это уже не буквы, а их начертания.
Но что-то я от темы отклонился... Тыквот, с множествами дело обстоит еще хуже :)
ц и т а т а
|
|
Gomez
|
написано:29-08-2006 12:21:05
|
30
|
Только не определяй после этого множество через функцию :)
Определять множество через функцию не в моих интересах, так как я слабо разбираюсь в абстрактной чепухе (более известной как теория категорий Эйленберга-Маклейна). :)
Что касается букв, в том числе букв из алфавита {"истина","ложь"}, или букв китайского алфавита, или букв из алфавита 0..9 (их обычно называют цифрами) - то тут ты совершенно мимо кассы.
Угу. Мне просто не был известен такой математический объект как буква. Поэтому я не буду возражать против любого ее определения или описания, даже если оно сильно напоминает определение монады Лейбница. :)
Правда, мне совершенно непонятно, почему существуют идеальные сущности. Да и что такое «идеальная сущность»? И чем понятие «свойство» понятнее понятия множества? Впрочем, это уже мои проблемы. :(
Буква - это ничто. Ее нельзя определить ни через что, кроме самой себя. Это такая фикция, которая является сама собой, и больше ничем. Ее нельзя пощупать или увидеть, да и вообразить сложно. Даже то, что мы читаем на экране, - это уже не буквы, а их начертания.
А сейчас здесь появится какой-нибудь адваитист и скажет: а поэтому истинную сущность Буквы можно познать только в интуитивном озарении, при котором сливаются субъект и объект! :)
Тыквот, с множествами дело обстоит еще хуже :)
«Аксиоматическая трактовка теории множеств постулирует существование некоторых неопределяемых, или примитивных, объектов, называемых множествами, вместе с символами и аксиомами, регулирующими их использование. Можно провести наглядную аналогию с геометрией, где задаются неопределяемые объекты, называемые точками, прямыми и плоскостями, вместе с системой аксиом, связывающих эти объекты друг с другом».
(с) Карл Фейс «Алгебра: кольца, модули и категории»
Лично у меня нет никаких трудностей с понятием множества. Я просто беру соответствующую аксиоматику (обычно ZFC или ZFC+МА), и пытаюсь в ней доказать или опровергнуть интересующее меня утверждение.
ц и т а т а
|
|
|