наблу скалярно умножить на наблу
ты про это?
Замечание: как и для обозначения скалярного и векторного произведения вообще, в случае их применения с оператором набла, наряду с использоваными выше, часто используются эквивалентные им альтернативные обозначения, так, например, вместо \nabla \cdot \vec a нередко пишут (\nabla, \vec a), а вместо \nabla \times \vec a пишут [\nabla,\vec a]; это касается и формул, приводимых ниже.
Соответственно, скалярное произведение \nabla\cdot\nabla=\nabla^2 есть скалярный оператор, называемый оператором Лапласа. Последний обозначается также \ \Delta. В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом:
\Delta={\partial^2\over\partial x^2}+{\partial^2\over\partial y^2}+{\partial^2\over\partial z^2}.
Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:
\mathbf{\operatorname{grad}}(\phi\psi)=\mathbf{\nabla}(\phi\psi)=\psi\mathbf{\nabla}\phi+\phi\mathbf{\nabla}\psi=\psi\,
\mathbf{\operatorname{grad}}\,\phi+\phi \, \mathbf{\operatorname{grad}}\,\psi
\operatorname{div}(\mathbf{\operatorname{grad}}\,\phi)=\nabla\cdot(\nabla\phi)=(\nabla\cdot\nabla)\phi=\nabla^2\phi = \Delta\phi
То есть производная выражения, зависящего от двух полей, есть сумма выражений, в каждом из которых дифференцированию подвергается только одно поле.
Для удобства обозначения того, на какие поля действует набла, принято считать, что в произведении полей и операторов каждый оператор действует на выражение, стоящее справа от него, и не действует на всё, что стоит слева. Если требуется, чтобы оператор действовал на поле, стоящее слева, это поле каким-то образом отмечают, например, ставя над буквой стрелочку:
\nabla \cdot \vec v = \stackrel{\downarrow}{\vec v} \cdot \nabla
Такая форма записи обычно используется в промежуточных преобразованиях. Из-за её неудобства в окончательном ответе от стрелочек стараются избавиться.
