|
Корнак7
Гость
|
Успенский себе подобного не позволял
Матрица Гивенса[править | править вики-текст]
Поворот Гивенса вектора на плоскости определяется матрицей линейного оператора:
{\displaystyle G(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta \ -\sin \theta \\\sin \theta \ \cos \theta \\\end{bmatrix}}} G(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta \ -\sin \theta \\\sin \theta \ \cos \theta \\\end{bmatrix}}
Поэтому для некоторого вектора {\displaystyle V={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}} V={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}:
{\displaystyle G(\theta )V={\begin{bmatrix}x\cos \theta -y\sin \theta \\x\sin \theta +y\cos \theta \end{bmatrix}}} G(\theta )V={\begin{bmatrix}x\cos \theta -y\sin \theta \\x\sin \theta +y\cos \theta \end{bmatrix}}
К примеру, для {\displaystyle \theta =\pi } \theta =\pi :
{\displaystyle G(\theta )V={\begin{bmatrix}-x\\-y\end{bmatrix}}} G(\theta )V={\begin{bmatrix}-x\\-y\end{bmatrix}}
Использование матриц Гивенса для трёхдиагонализации[править | править вики-текст]
Пусть хотим привести к трёхдиагональному виду симметричную матрицу: {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1\,1}&\cdots &a_{1\,p}&\cdots &a_{1\,q}&\cdots &a_{1\,n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{p\,1}&\cdots &a_{p\,p}&\cdots &a_{p,q}&\cdots &a_{p\,n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{q\,1}&\cdots &a_{q\,p}&\cdots &a_{q,q}&\cdots &a_{q\,n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{n\,1}&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &a_{n\,n}\end{bmatrix}}} A={\begin{bmatrix}a_{{1\,1}}&\cdots &a_{{1\,p}}&\cdots &a_{{1\,q}}&\cdots &a_{{1\,n}}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{{p\,1}}&\cdots &a_{{p\,p}}&\cdots &a_{{p,q}}&\cdots &a_{{p\,n}}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{{q\,1}}&\cdots &a_{{q\,p}}&\cdots &a_{{q,q}}&\cdots &a_{{q\,n}}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{{n\,1}}&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &a_{{n\,n}}\end{bmatrix}}
Где {\displaystyle a_{p\,q}=a_{q\,p}} a_{{p\,q}}=a_{{q\,p}}. Тогда домножим её на матрицу вращения Гивенса: {\displaystyle G'_{p\,q}(\theta )AG_{p\,q}(\theta )} G'_{{p\,q}}(\theta )AG_{{p\,q}}(\theta ). G' - транспонированная матрица. При этом изменятся только элементы {\displaystyle a_{p\,p}} a_{{p\,p}}, {\displaystyle a_{p\,q}} a_{{p\,q}} и {\displaystyle a_{q\,q}} a_{{q\,q}}
{\displaystyle a'_{p\,p}=c^{2}a_{p\,p}+2csa_{p\,q}+s^{2}a_{q\,q}} a'_{{p\,p}}=c^{2}a_{{p\,p}}+2csa_{{p\,q}}+s^{2}a_{{q\,q}}
{\displaystyle a'_{p\,q}=sc(a_{q\,q}-a_{p\,p})+a_{p\,q}(c^{2}-s^{2})} a'_{{p\,q}}=sc(a_{{q\,q}}-a_{{p\,p}})+a_{{p\,q}}(c^{2}-s^{2})
{\displaystyle a'_{q\,q}=s^{2}a_{p\,p}-2csa_{p\,q}+c^{2}a_{q\,q}} a'_{{q\,q}}=s^{2}a_{{p\,p}}-2csa_{{p\,q}}+c^{2}a_{{q\,q}}
Здесь штрих обозначает элемент возникающий после вращения. Выберем коэффициенты c и s так, чтобы обнулить недиагональный элемент и сохранить связь c и s с {\displaystyle \cos \phi } \cos \phi и {\displaystyle \sin \phi } \sin \phi
Тогда: {\displaystyle \phi =1/2\tan ^{-1}(2a_{p\,q}/(a_{p\,p}-a_{q\,q}))} \phi =1/2\tan ^{{-1}}(2a_{{p\,q}}/(a_{{p\,p}}-a_{{q\,q}}))
{\displaystyle c=\cos \phi } c=\cos \phi
{\displaystyle s=\sin \phi } s=\sin \phi |
